微分

「微分」とは，ある実関数において，任意の点における変化の感度を求める動作のことをいう．定義式は以下のように表される．

$$\begin{array}{r}\frac{df(x)}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\end{array}$$

上式のように表されたとき，「関数$f(x)$を$x$で微分する」という．単に微分というと，1変数関数の微分（常微分）のことを指す．また，微分の表し方は様々あり、それを以下に示す．

$$\begin{array}{r}\frac{df(x)}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{df}{dx}(x)=\frac{d}{dx}f(x)\end{array}$$

関数を微分することによって得られる関数のことを導関数という．また，微分を1度だけ行うことを「1階微分」するといい，1階微分したものをもう一度微分することを「2階微分」，$n$度だけ微分することを$n$階微分という．

微分の表記には，略記があり以下のとおりである．一般的には，どの変数で微分するかを明示しなくてもわかるような場合には略記で記述するのが一般的である．

$$\begin{array}{rl}& \frac{df(x)}{dx}=f^{\prime }(x)\\ & \frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}=f”(x)\\ & \frac{d^{n}f(x)}{d{x}^n}=f^{(n)}(x)\end{array}$$

上記以外にも，特別に物理学分野では時間に関する微分を以下のように表現することがある．

$$\begin{array}{rl}& \frac{df(t)}{dt}=\dot{f}(t)\\ & \frac{d^{2}f(t)}{d{t}^2}=\ddot{f}(t)\end{array}$$

微分した関数を積分すると，元に戻る性質がある．

微分の線形性

微分は線形の性質がある．

$$\begin{array}{r}\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}\end{array}$$

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