ロルの定理

ロルの定理とは，微分可能な関数で，

$$f(a)=f(b),(a\ne b)$$

となるような$a$，$b$があるとき，

$$f^{\prime }(c)=0$$

となる$c$が区間$[a,b]$内に1つは存在するという定理である．

証明

区間$[a,b]$における以下の3つの場合分けをして考える．

$$\begin{array}{rl}& (1)f(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\\ & (2)f(a)=f(b)\le f(t)\\ & (3)f(a)=f(b)\ge f(t)\end{array}$$

(1)は，任意の$c$で$f^{\prime }(c)=0$となる．

(2)は，(2)式を満たす$t$が存在するときに，最大値・最小値の定理より，最大値となるような$c$が存在する．$f(x)$は$c$点で微分可能であり，

$$f(c)\ge f(c+\mathrm{\Delta }x)$$

であることを考慮すれば，

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(c)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to +0}{lim}\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{\mathrm{\Delta }x}\le 0\\ f^{\prime }(c)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to -0}{lim}\frac{f(c+\mathrm{\Delta }x)-f(c)}{\mathrm{\Delta }x}\ge 0\end{array}$$

よって，$f^{\prime }(c)=0$となる．

(3)は，(3)式を満たす$t$が存在するときに，最大値・最小値の定理より最小値となるような$c$が存在する．これも(2)と同様に考えると$f^{\prime }(c)=0$を得る．

よって，ロルの定理が証明された．