偏微分

  数学系, 解析学, 微分・積分

偏微分

偏微分とは,多変数関数においてある特定の変数もしくは関数で微分することを偏微分という.常微分と見分けるために偏微分と常微分では表記の方法が異なる.

f(x1,x2,,xn)x1=x1f(x1,x2,,xn)=limΔx10f(x1+Δx1,x2,,xn)f(x1,x2,,xn)Δx1

上式のように表されたとき,関数fx1で偏微分するという.偏微分することで得られる関数のことを偏導関数という.また,常微分と同じように簡略化した表記があり,それを以下に示す.

f(x1,x2,,xn)x1=fx12f(x1,x2,,xn)x12=fx1x12f(x1,x2,,xn)x1x2=fx1x2

シュワルツの定理

ある連続関数を偏微分するときに,偏微分順番を変えたとしても結果は同じになる.

fx1x2=fx2x1

合成関数の偏微分

偏微分についても,常微分と同じように合成関数の偏微分をすることができ,以下のようにする.

dfdx=fydydx+fzdzdx

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