重力

重力とは，物体と地球が引き寄せあう万有引力と地球の自転による遠心力の物体の受ける合力のことをいい，以下のようにあらわされる．

$$W=mg$$

ここで，\(g\)は重力加速度という．重力は万有引力と遠心力の合力のため，地球上にいれば受けることになるが，同じ質量の物体でも場所によって重力が変わるという考え方はとても面倒であるため，重力加速度という定数を用意し，質量が同じであれば重力はどこにいても同じだと考えて計算される．

重力加速度\(g\)は，

$$g=9.80665 \rm[m/s^2]$$

とされている．

物体が鉛直方向に落ちていく運動のことを落下運動という．このとき，物体には重力が作用していると考えれば，運動の法則より以下の式を得る．ただし，重力以外は物体に何も力が作用していないものとした．

\begin{align*}
m\frac{d^2 z(t)}{dt^2}&=-W\\
&=mg\\
\therefore \frac{d^2 z(t)}{dt^2}&=-g
\end{align*}

ここで，重力は\(z\)軸マイナス方向に作用しているものとしている．ここで，積分をすれば，

\begin{align*}
\frac{dz(t)}{dt}=\int \frac{d^2 z(t)}{dt^2}dt=-gt+v_{z_0}\\
z(t)=\int \frac{dz(t)}{dt}dt=-\frac{1}{2}gt^2+v_{z_0}t+z_0
\end{align*}

が得られる．ここで，\(v_{z_0}\)および\(z_0\)は時刻\(t=0\)における初期\(z\)軸速度と初期\(z\)変位である．ここで，

\begin{align*}
v_{z_0}=0
\end{align*}
のとき，自由落下運動という．また，

\begin{align}
v_{z_0} < 0
\end{align}

のとき，鉛直投げ下げ運動という．さらに，

\begin{align}
v_{z_0} > 0
\end{align}

のときを，鉛直投げ上げ運動という．

水平投射・射方投射

水平投射とは，物体に水平方向に初速度を与えることをいう．例えば，\(x\)軸方向の運動について考えれば，

\begin{align}
\frac{d^2 x(t)}{dt^2}&=0\\
\frac{dx(t)}{dt}=\int \frac{d^2 x(t)}{dt^2}&=v_{x_0}\\
x(t)=\int \frac{dx(t)}{dt}&=v_{x_0}t+x_0
\end{align}

同様にして，\(y\)軸方向の運動も同じ結果が得られるため，変位\(\vec{r}(t)\)および速度\(\vec{v}(t)\)は，

\begin{align}
\vec v(t) &= \left(\begin{array}{c} v_{x_0} \\ v_{y_0} \\ -gt + v_{z_0}\end{array}\right)\\
\vec r(t) &= \left(\begin{array}{c} v_{x_0}t+x_0 \\ v_{y_0}t+y_0 \\ -\frac{1}{2}gt^2 + v_{z_0}t+z_0\end{array}\right)
\end{align}

\(x\)軸方向，\(y\)軸方向の初速度を与えた場合には，常に一定の水平方向へ移動することがわかる．また，重力の影響により物体は落下運動をすることもわかる．特別に\(z\)軸方向の初速度が正の時，射方投射という．射方投射の場合は，物体は放物線運動をする．