Taylorの定理

Taylorの定理とは，関数\(f(x)\)を\(n\)次で\(a\)点まわりでTaylor展開して，展開前の\(f(b)\)と展開後の\(f(b)\)を求めたときの誤差関数が以下のようにあらわされるとき，

$$R(b-a)=\frac{d^nf(c)}{dx^n}\frac{(b-a)^2}{n!}$$

区間\([a,b]\)で以下の式を満たす\(c\)が存在することを表した定理である．

\begin{align}
f(b)&=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!} \frac{d^k f(a)}{dx^k}(b-a)^k + R(b-a)\\ &=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!} \frac{d^k f(a)}{dx^k}(b-a)^k + \frac{d^n f(c)}{dx^n} \frac{(b-a)^n}{n!}
\end{align}

証明

まず，\(f(b)\)を以下のように「\(n-1\)次で\(a\)点まわりでTaylor展開した式」＋「係数\(A\)を持つ項」とする．

\begin{align}
f(b)=f(a)+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k!} \frac{d^k f(a)}{dx^k}(b-a)^k + A\frac{(b-a)^n}{n!}
\end{align}

ここで，関数\(g(x)\)を以下のように定義する．

\begin{align}
g(x)=f(b)-f(x)-\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k!} \frac{d^k f(x)}{dx^k}(b-x)^k-A\frac{(b-x)^n}{n!}
\end{align}

\(g(a)\)および\(g(b)\)を求めると，

\begin{align}
g(a)&=f(b)-f(a)-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!} \frac{d^k f(a)}{dx^k}(b-a)^k-A\frac{(b-a)^n}{n!}
\end{align}

関数\(f(b)\)の仮定より，

\begin{align}
g(a)&=0\\
g(b)&=f(b)-f(b)-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d^k f(b)}{dx^k}(b-b)^k-A\frac{(b-b)^n}{n!}\\
&=0
\end{align}

よって，\(g(a)=g(b)=0\)であるから，ロルの定理より，

$$g'(x)=0, ~a\leq c\leq b$$

が得られる．ここで，\(g(x)\)を微分して，

\begin{align}
g'(x)&=-f'(x)-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d^{k+1}f(x)}{dx^{k+1}}(b-x)^k\\
&+f'(x)+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^k f(x)}{dx^k}(b-x)^{k-1}+A\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}\\
&=-f'(x)-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^k f(x)}{dx^k}(b-x)^{k-1}\\
&+f'(x)+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^k f(x)}{dx^k}(b-x)^{k-1}+A\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}\\
\therefore g'(x)&=\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}\left(A-\frac{d^n f(x)}{dx^n}\right)
\end{align}

であるから，\(g'(c)=0\)より，

\begin{align}
g'(x)&=\frac{(b-c)^{n-1}}{(n-1)!}\left(A-\frac{d^n f(c)}{dx^n}\right)=0\\
\therefore A&=\frac{d^n f(c)}{dx^n}
\end{align}

以上より，Taylorの定理が示された．