Taylorの定理

Taylorの定理とは，関数$f(x)$を$n$次で$a$点まわりでTaylor展開して，展開前の$f(b)$と展開後の$f(b)$を求めたときの誤差関数が以下のようにあらわされるとき，

$$R(b-a)=\frac{d^{n}f(c)}{d{x}^n}\frac{(b-a{)}^2}{n!}$$

区間$[a,b]$で以下の式を満たす$c$が存在することを表した定理である．

$$\begin{array}{rl}f(b)& =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(a)}{d{x}^k}(b-a{)}^k+R(b-a)\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(a)}{d{x}^k}(b-a{)}^k+\frac{d^{n}f(c)}{d{x}^n}\frac{(b-a{)}^n}{n!}\end{array}$$

証明

まず，$f(b)$を以下のように「$n-1$次で$a$点まわりでTaylor展開した式」＋「係数$A$を持つ項」とする．

$$\begin{array}{r}f(b)=f(a)+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(a)}{d{x}^k}(b-a{)}^k+A\frac{(b-a{)}^n}{n!}\end{array}$$

ここで，関数$g(x)$を以下のように定義する．

$$\begin{array}{r}g(x)=f(b)-f(x)-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(x)}{d{x}^k}(b-x{)}^k-A\frac{(b-x{)}^n}{n!}\end{array}$$

$g(a)$および$g(b)$を求めると，

$$\begin{array}{rl}g(a)& =f(b)-f(a)-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(a)}{d{x}^k}(b-a{)}^k-A\frac{(b-a{)}^n}{n!}\end{array}$$

関数$f(b)$の仮定より，

$$\begin{array}{rl}g(a)& =0\\ g(b)& =f(b)-f(b)-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(b)}{d{x}^k}(b-b{)}^k-A\frac{(b-b{)}^n}{n!}\\ & =0\end{array}$$

よって，$g(a)=g(b)=0$であるから，ロルの定理より，

$$g^{\prime }(x)=0,a\le c\le b$$

が得られる．ここで，$g(x)$を微分して，

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =-f^{\prime }(x)-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d^{k+1}f(x)}{d{x}^{k+1}}(b-x{)}^k\\ & +f^{\prime }(x)+\sum _{k=2}^{n-1}\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k}f(x)}{d{x}^k}(b-x{)}^{k-1}+A\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}\\ & =-f^{\prime }(x)-\sum _{k=2}^n\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k}f(x)}{d{x}^k}(b-x{)}^{k-1}\\ & +f^{\prime }(x)+\sum _{k=2}^{n-1}\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k}f(x)}{d{x}^k}(b-x{)}^{k-1}+A\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}\\ \therefore g^{\prime }(x)& =\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}(A-\frac{d^{n}f(x)}{d{x}^n})\end{array}$$

であるから，$g^{\prime }(c)=0$より，

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =\frac{(b-c{)}^{n-1}}{(n-1)!}(A-\frac{d^{n}f(c)}{d{x}^n})=0\\ \therefore A& =\frac{d^{n}f(c)}{d{x}^n}\end{array}$$

以上より，Taylorの定理が示された．