平均値定理

  数学系, 解析学, 解析学 諸定理

ラグランジュの平均値定理

ラグランジュの平均値定理とは,ある区間[a,b]において,a,bでの微分可能であるとき,a,bを結んだ直線の傾きと同じ傾きをもつ点cが区間[a,b]内に存在するという定理である.

f(b)f(a)ba=f(c)
acb

証明

関数g(x)を以下のように「関数f(x)」+「Ax」で与える.

g(x)=f(x)+Ax

ここで,g(a)=g(b)となるようなAについて求めると,

f(a)+Aa=f(b)+AbA=f(b)f(a)ba

求めたAg(x)に代入すれば,g(a)=g(b)となるので,ロルの定理を適用して,g(c)=0となるcが存在することから,

g(c)=f(c)f(b)f(a)ba

以上より,ラグランジュの平均値定理が示された.


コーシーの平均値定理

コーシーの平均値定理とは,ラグランジュの平均値定理を一般化したものである.

f(b)f(a)g(b)g(a)=f(c)g(c)
acb

証明

関数z(x)を以下のように定義する.

z(x)=f(x)+Ag(x)

ここで,z(a)=z(b)となるようなAについて求めると,

f(a)+Ag(a)=f(b)+Ag(b)A=f(b)f(a)g(b)g(a)

求めたAz(x)に代入すれば,z(a)=z(b)となるので,ロルの定理を適用して,z(c)=0となるcが存在することから,

z(c)=f(c)f(b)f(a)g(b)g(a)g(c)=0

以上より,コーシーの平均値定理が示された.

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