ロピタルの定理

ロピタルの定理とは，不定形の極限について，微分を用いることで求める定理である．

$$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\underset{x\to c}{lim}g(X)$$

上式が$0$もしくは$\pm \mathrm{\infty }$であったときに，

$$g^{\prime }(x)\ne 0$$

であり，かつ

$$\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

が存在するときに以下が成り立つ．

$$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

証明（Taylor展開を用いた証明）

Taylor展開を用いて，ロピタルの定理の証明をする．ただし，Taylor展開では，$f(c)=g(c)=0$の場合でしか証明できないため，完全な照明とは言えない．

関数$f(x)$および$g(x)$を$c$点まわりでTaylor展開する．

$$\begin{array}{r}f(x)=f(c)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^k\\ g(x)=g(c)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}g(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^k\end{array}$$

ここで，$f(c)=g(c)=0$について考えれば，

$$\begin{array}{r}f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^k\\ g(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}g(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^k\end{array}$$

が得られる．よって，

$$\begin{array}{r}\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{{\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^k}}{{\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}g(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^k}}\end{array}$$

となる．右辺の無限和項の分母，分子の$(x-c)$は共通であるため，次数が1つ小さくなることを考慮すれば，

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}& =\underset{x\to c}{lim}\frac{{\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^{k-1}}}{{\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}g(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^{k-1}}}\\ & =\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(c)+{\displaystyle \sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^{k-1}}}{g^{\prime }(c)+{\displaystyle \sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}g(c)}{d{x}^k}(x-c{)}^{k-1}}}\end{array}$$

が得られ，無限和の$(x-c)$は$x=c)$のときに$0$となり，無限和項が$0$となるので，

$$\begin{array}{r}\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\end{array}$$

よって，$f(c)=g(c)=0$の場合のロピタルの定理について示された．