ロピタルの定理

  数学系, 解析学, 解析学 諸定理

ロピタルの定理

ロピタルの定理とは,不定形の極限について,微分を用いることで求める定理である.

limxcf(x)=limxcg(X)

上式が0もしくは±であったときに,

g(x)0

であり,かつ

limxcf(x)g(x)

が存在するときに以下が成り立つ.

limxcf(x)g(x)=limxcf(x)g(x)

証明(Taylor展開を用いた証明)

Taylor展開を用いて,ロピタルの定理の証明をする.ただし,Taylor展開では,f(c)=g(c)=0の場合でしか証明できないため,完全な照明とは言えない.

関数f(x)およびg(x)c点まわりでTaylor展開する.

f(x)=f(c)+k=11k!dkf(c)dxk(xc)kg(x)=g(c)+k=11k!dkg(c)dxk(xc)k

ここで,f(c)=g(c)=0について考えれば,

f(x)=k=11k!dkf(c)dxk(xc)kg(x)=k=11k!dkg(c)dxk(xc)k

が得られる.よって,

limxcf(x)g(x)=limxck=11k!dkf(c)dxk(xc)kk=11k!dkg(c)dxk(xc)k

となる.右辺の無限和項の分母,分子の(xc)は共通であるため,次数が1つ小さくなることを考慮すれば,

limxcf(x)g(x)=limxck=11k!dkf(c)dxk(xc)k1k=11k!dkg(c)dxk(xc)k1=limxcf(c)+k=21k!dkf(c)dxk(xc)k1g(c)+k=21k!dkg(c)dxk(xc)k1

が得られ,無限和の(xc)x=c)のときに0となり,無限和項が0となるので,

limxcf(x)g(x)=f(c)g(c)=limxcf(x)g(x)

よって,f(c)=g(c)=0の場合のロピタルの定理について示された.

LEAVE A COMMENT