ロピタルの定理

ロピタルの定理とは，不定形の極限について，微分を用いることで求める定理である．

$$\lim_{x\to c} f(x)=\lim_{x\to c} g(X)$$

上式が\(0\)もしくは\(\pm\infty\)であったときに，

$$g'(x)\neq 0$$

であり，かつ

$$\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

が存在するときに以下が成り立つ．

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

証明（Taylor展開を用いた証明）

Taylor展開を用いて，ロピタルの定理の証明をする．ただし，Taylor展開では，\(f(c)=g(c)=0\)の場合でしか証明できないため，完全な照明とは言えない．

関数\(f(x)\)および\(g(x)\)を\(c\)点まわりでTaylor展開する．

\begin{align}
f(x)=f(c)+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k f(c)}{dx^k}(x-c)^k\\ g(x)=g(c)+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k g(c)}{dx^k}(x-c)^k\\
\end{align}

ここで，\(f(c)=g(c)=0\)について考えれば，

\begin{align}
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k f(c)}{dx^k}(x-c)^k\\ g(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k g(c)}{dx^k}(x-c)^k\\
\end{align}

が得られる．よって，

\begin{align}
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k f(c)}{dx^k}(x-c)^k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k g(c)}{dx^k}(x-c)^k}
\end{align}

となる．右辺の無限和項の分母，分子の\((x-c)\)は共通であるため，次数が1つ小さくなることを考慮すれば，

\begin{align}
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x \to c} \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k f(c)}{dx^k}(x-c)^{k-1}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k g(c)}{dx^k}(x-c)^{k-1}}\\
&=\lim_{x \to c} \frac{f'(c)+\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k f(c)}{dx^k}(x-c)^{k-1}}{g'(c)+\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^k g(c)}{dx^k}(x-c)^{k-1}}
\end{align}

が得られ，無限和の\((x-c)\)は\(x=c)\)のときに\(0\)となり，無限和項が\(0\)となるので，

\begin{align}
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}=\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{align}

よって，\(f(c)=g(c)=0\)の場合のロピタルの定理について示された．