運動方程式

上図のような質量$m$の物体および粘性係数$c$のダンパ，ばね定数$k$のばねによる運動系がある場合，この運動系の運動方程式は以下のようになる．

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$$

運動の様子

運動方程式（EOM）の特性方程式から運動の様子を観察する．運動方程式の特性方程式は，

$$m{\lambda }^2+c\lambda +k=0$$

であるから，二次方程式の判別式より以下の表を得る．ただし，$C,S$は初期条件等から決定される任意定数である．

上表において，
　１の状態になることを「過減衰」
　２の状態になることを「臨界減衰」
　３の状態になることを「不足減衰」
という．

上表をもとに1~3の結果をグラフに描くと以下のようになる．

上式のことから，１，２の運動は振動しないで収束していくが，３の運動は振動しながら収束していくことがわかる．

臨界減衰係数・減衰比

「臨界減衰係数」臨界減衰となる粘性係数のパラメータのことである．

$$c_c=2\sqrt{mk}$$

「減衰比」とは，臨界減衰係数と粘性係数の比率のことである．

$$\zeta =\frac{c}{c_c}=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$

固有角振動数

「固有角振動数」とは，振動解において振動の様子を表すパラメータである．減衰を考慮しない（$c=0$）固有角振動数のことを「不減衰固有角振動数」（${\omega }_n$）といい，減衰を考慮する（$c\ne 0$）固有角振動数を「減衰固有角振動数」（${\omega }_d$）といい，以下のように表される．

$$\begin{array}{rl}{\omega }_n& =\sqrt{\frac{k}{m}}\\ {\omega }_d& =\sqrt{\frac{4mk-c^2}{4m^2}}={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}\end{array}$$