積分

「積分」とは，曲線で囲まれた部分の面積を求める動作のことを言う．

\begin{align}
\int F(x)dx=f(x)+C
\end{align}

上式のように書いたときは,「関数\(F(x)\)を\(x\)で積分した」という．積分する関数のことを「原始関数」という．右辺の\(C\)は「積分定数」と呼ばれるもので，拘束条件等から決定される定数となる．このように積分定数が存在する積分を「不定積分」という．

\begin{align}
\int_a^b F(x)dx=\left[f(x)\right]_a^b=f(b)-f(a)
\end{align}

上式のように書いたときは，「関数\(F(x)\)を\(a\)から\(b\)の範囲で\(x\)で積分した」という．積分範囲を指定すると積分定数がなくなる．このような積分を「定積分」という．

積分された関数を微分すると原始関数に戻る性質がある．

積分の線形性

積分は線形の性質を持つ．以下は不定積分で記載されているが，定積分でも同じである．

\begin{align}
\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx
\end{align}