Taylor展開
Taylor展開とは，\(C^{\infty}\)級関数（無限階微分可能な関数）をある一点での導関数の値から計算される項の無限和をとる関数として展開する手法であり，以下のように表される．
\begin{align*}
f(x)&=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\frac{d^kf(a)}{dx^k}(x-a)^k\\
&=f(a)+\frac{df(a)}{dx}(x-a)+\frac{1}{2!}\frac{d^2f(a)}{dx^2}(x-a)^2+\ldots
\end{align*}
上式のように表されたとき，「関数\(f(x)\)を\(a\)点まわりでTaylor展開した」もしくは「関数\(f(x)\)の\(a\)点まわりにおけるTaylor級数」という．このようにすることで，複雑な関数を単純な多項式関数として扱うことができる．
しかし，無限和を求めることができれば，\(a\)はどのような値でも，すべての\(x\)で関数\(f(x)\)の値は，展開前後で変わらないが，実際には無限和を求めることは困難であるため，適当な階数で近似することが多い．そのような場合には，\(x\)の値が\(a\)の値に近ければ，関数\(f(x)\)の値は，展開前後で誤差はさほどないが，\(x\)の値が\(a\)の値と大きく異なれば，関数\(f(x)\)の値は展開前後で誤差が大きくなるので注意が必要となる．
マクローリン展開
マクローリン展開とは，関数\(f(x)\)を原点（0点）まわりでTaylor展開することを言う．
\begin{align*}
f(x)&=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\frac{d^kf(0)}{dx^k}x^k\\
&=f(0)+\frac{df(0)}{dx}x+\frac{1}{2!}\frac{d^2f(0)}{dx^2}x^2+\ldots
\end{align*}